上半平面上の Nevanlinna 型空間について

飯田 安保 (Yasuo IIDA) 東北大学大学院情報科学研究科

(e-mail : iida@ims.is.tohoku.ac.jp)

1. 準備

まず、単位円板 U = {z ∈ C | |z| < 1} 上の関数空間の定義を与える。

定義 1-1

1. U 上の正則関数 f が sup_{0<r<1} ∫_{0}^{2π} log(1 + |f(re^{iθ})|)dθ < +∞ を満たすとき、 f ∈ N とする。

2. T = {z ∈ C | |z| = 1} とする。 f が U 上の正則関数で、ある ϕ ∈ L^{1}(T) , ϕ > = 0 に対し log(1 + |f(z)|) < = Q[ϕ](z) (z ∈ U) を満たすとき、 f ∈ N_{∗} とする。ただし、右辺は U 上の Poisson 積分を表す。

3. p > 1 とする。 U 上の正則関数 f が sup_{0<r<1} ∫_{0}^{2π}(log(1 + f(re^{iθ})|)^{p}dθ < +∞ を満たすとき、 f ∈ N^{p} とする。

N を Nevanlinna class , N_{∗} を Smirnov class と呼ぶ。 N とその部分空間 N_{∗} , N^{p} 等を総称して Nevanlinna 型空間と呼ぶ。

上半平面 D = {z ∈ C | Imz > 0} 上の Nevanlinna 型空間については Krylov の結果 [K] をはじめ、いろいろ知られているが、望月望先生は D 上の Nevanlinna class N_{0}(D) , Smirnov class N_{∗}(D) を次のように定義された [M] ：

定義 1-2

1. D 上の正則関数 f が sup_{y>0} ∫_{R} log(1 + |f(x + iy)|) dx < +∞ を満たすとき、 f ∈ N_{0}(D) とする。

2. f が D 上の正則関数で、ある ϕ ∈ L^{1}(R) , ϕ > = 0 に対し log(1 + |f(z)|) < = P [ϕ](z) (z ∈ D) を満たすとき、 f ∈ N_{∗}(D) とする。ただし、右辺は D 上の Poisson 積分を表す。

ここでは、 N^{p} に対応する D 上の空間として、 N^{p}(D) を新たに導入する ([I]) ：

定義 1-3

p > 1 とする。 D 上の正則関数 f が sup_{y>0} ∫_{R}(log(1+|f(x+iy)|))^{p} dx < +∞ を満たすとき、 f ∈ N^{p}(D) ; とする。

※ f ∈ N^{p}(D) のとき、 f^{∗}(x) := lim_{y→0^{+}} f(x + iy) が a.e. x ∈ R で存在する。

2. N^{p}(D) に属する関数の因数分解定理

定理 2-1([I])

p > 1 に対し、 f ∈ N^{p}(D) , f ≠ 0 とする。このとき f は次の形に一意に分解される：

f(z) = ae^{iαz}b(z)d(z)g(z). (z ∈ D)

ここで、

(i) a ∈ T , α ∈ R. (ii) b(z) は f の零点から構成される Blaschke 積.

(iii) d(z) = exp (\frac{1}{πi} ∫_{R} \frac{1 + tz}{t − z} \frac{1}{1 + t^{2}} log h(t) dt),

ここで h(t) > = 0 , log h ∈ L^{1}(R , (1 + t^{2})^{−1}dt), log(1 + h) ∈ L^{p}(R , (1 + t^{2})^{−1}dt).

(vi) g(z) = exp (\frac{1}{i} ∫_{R} \frac{1 + tz}{t − z} dμ(t)),

ここで μ は R 上の有限実測度で、 Lebesgue 測度に関して特異である.

系 2-2([I])

p > 1 とし、 f は D 上正則とする。このとき、以下は同値な条件である。

(i) f ∈ N^{p}(D).

(ii) f ∘ Ψ^{−1} ∈ N^{p}. ここで Ψ(z) = (z − i)/(z + i) (z ∈ \overline{D}) である.

(iii) sup_{y>0} ∫_{R}(log(1+|f(x+iy)|))^{p} dx = lim_{y→0^{+}} ∫_{R}(log(1+|f(x+iy)|))^{p} dx = ∫_{R}(log(1+|f^{∗}(x)|))^{p} dx.

3. F -algebra としての N^{p}(D)

p > 1 に対し、 f , g ∈ N^{p}(D) とする。ここで d_{p}(f , g) := \{∫_{R}(log(1 + |f^{∗}(x) − g^{∗}(x)|))^{p} dx\}^{\frac{1}{p}} とすると、 d_{p} は N^{p}(D) 上の距離をなす。このとき、次の結果が得られる。

定理 3-1([I])

{p > 1 とする。このとき (N^{p}(D) , d_{p}) は F -algebra （積について連続である、線形完備距離空間）で \atop ある。}

参考文献

[I] Y. Iida, On an F -algebra of holomorphic functions on the upper half plane, preprint.

[K] V. I. Krylov, On functions regular in a half-plane, Mat. Sb. 6 (48) (1939); Amer. Math. Soc. Transl. (2) 32 (1963), 37-81.

[M] N. Mochizuki, Nevanlinna and Smirnov classes on the upper half plane, Hokkaido Math. J. 20 (1991), 609-620.