ある重みつき Hardy 空間を用いての Nevanlinna-type 空間の構成

飯田 安保 (Yasuo IIDA) 東北大学情報科学研究科

0. 序

Nevanlinna-type 空間をある重みつき Hardy 空間の和集合で構成する方法については、 1990, 1991 年に Helson, McCarthy が N_{∗} を、 1993 年には Eoff が N^{p} を、どちらも重みつき H^{2}-空間の和集合で構成出来ることを示している。本講演では、上記の結果の拡張について述べるとともに、その構成から得られる N_{∗}, N^{p} 上の inductive limit topology と距離位相が同値であることについても報告する。

1. 準備

まず、代表的な空間である Nevanlinna class , Smirnov class , Hardy spaces の定義を与える。

定義 1-1 U = {z ∈ C | |z| < 1} , T = {z ∈ C | |z| = 1} とする。 U 上の正則関数 f が

1. lim_{r→1^{−}} ∫_{0}^{2π} log^{+} |f(re^{iθ})|dθ < +∞ を満たすとき、 f ∈ N とする。

f ∈ N のとき、 f^{∗}(e^{iθ}) := lim_{r→1^{−}} f(re^{iθ}) が a.e. e^{iθ} ∈ T で存在することが知られている。

2. f ∈ N で、 lim_{r→1^{−}} ∫_{0}^{2π} log^{+} |f(re^{iθ})|dθ = ∫_{0}^{2π} log^{+} |f^{∗}(e^{iθ})|dθ を満たすとき、 f ∈ N_{∗} とする。

3. 0 < p < ∞ に対し lim_{r→1^{−}} ∫_{0}^{2π} |f(re^{iθ})|^{p}dθ < +∞ を満たすとき、 f ∈ H^{p} とする。

また、 U 上の有界正則関数全体を H^{∞} で表す。

N を Nevanlinna class , N_{∗} を Smirnov class , H^{p} (0 < p < = ∞) を Hardy spaces と呼ぶ。これらの空間のあいだには、以下のような包含関係が成り立つ：

H^{∞} ⊂ H^{q} ⊂ H^{p} ⊂ N_{∗} ⊂ N (0 < p < q < ∞)

このような包含関係は昔からよく知られていたが、 1977 年に M. Stoll は N_{∗} と H^{p} の間に位置する空間 N^{p} を以下のように導入した [S] ：

定義 1-2

p > 1 とする。 U 上の正則関数 f が ; lim_{r→1^{−}} ∫_{0}^{2π} [log^{+} |f(re^{iθ})|]^{p} dθ < +∞ ; を満たすとき、 f ∈ N^{p} とする。

この N^{p} には、以下の特徴がある：

N^{p} ⊂ N^{q} (1 < q < p) , ⋃_{q>0} H^{q} ⊂ ⋂_{p>1} N^{p} , ⋃_{p>1} N^{p} ⊂ N_{∗}

N とその部分空間 N_{∗} , N^{p} , H^{p} を総称して Nevanlinna-type 空間と呼ぶ ([CK])。

2. N , N_{∗} , N^{p} のある構成について

次の定理は昔から良く知られている結果である。定理 2-1 (F. and R. Nevanlinna)

f ∈ N , f ≢ 0 ⟺ f = \frac{g}{h} (g , h ∈ H^{∞}, h(z) ≠ 0 (z ∈ U))

f ∈ N_{∗} ⟺ f = \frac{g}{h} (g , h ∈ H^{∞}, h : outer function for N)

ここで、 h(z) = a exp (∫_{0}^{2π} \frac{e^{iθ} + z}{e^{iθ} − z} log ψ(e^{iθ}) dθ) (a ∈ T , ψ > = 0 , log ψ ∈ L^{1}(T)) の形の関数を N

に対する外関数 (outer function for N) と呼ぶ。同様の構成を N^{p} でも考えることにする。その前に、 N^{p} に対する外関数を以下のように定義する。定義 2-2

p > 1 とする。

h(z) = a exp (∫_{0}^{2π} \frac{e^{iθ} + z}{e^{iθ} − z} log ψ(e^{iθ}) dθ) (a ∈ T , ψ > = 0 , log ψ ∈ L^{1}(T)) , log^{+} ψ ∈ L^{p}(T))

の形の関数を N^{p} に対する外関数 (outer function for N^{p}) と呼ぶ。このとき、 N_{∗} の場合と同様に考えると、 N^{p} ⊂ \{f = \frac{g}{h} (g , h ∈ H^{∞}, h : outer function for N^{p})\} は

成立するが、逆の包含関係は成り立たない。しかし、 N^{p} の可逆な元を考えることにより、定理 2-1 と同じような構成が得られる。以下が Eoff の結果である ([E])。定理 2-3 (Eoff, 1993)

{p > 1 とし、 N^{p} の可逆な元全体を (N^{p})^{−1} で表す。このとき以下が成り立つ。 \atop f ∈ N^{p} ⟺ f = \frac{g}{h} (g , h ∈ H^{∞}, h ∈ (N^{p})^{−1})}

次の系は容易に示される。系 2-4

{p > 1 , 0 < q < = ∞ とする。このとき以下が成り立つ。 \atop f ∈ N^{p} ⟺ f = \frac{g}{h} (g , h ∈ H^{q}, h ∈ (N^{p})^{−1})}

3. 重みつき Hardy 空間の和集合による N_{∗} , N^{p} の構成

まず最初に、 Helson, McCarthy, Eoff らによる N_{∗} , N^{p} についての結果について述べる。

1 ◯ N_{∗} の場合

定理 2-1 は、 H^{2} の場合でも成り立つので、

f ∈ N_{∗} ⟺ f = \frac{g}{h} (g , h ∈ H^{2}, h : outer function for N)

ともできる。よって、 f ∈ N_{∗} に対し、 g = fh ∈ H^{2} (h: outer function for N) となる。 p を多項式とすると、

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} |f^{∗}(e^{iθ})h^{∗}(e^{iθ}) − p^{∗}(e^{iθ})h^{∗}(e^{iθ})|^{2} dθ = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} |f^{∗}(e^{iθ}) − p^{∗}(e^{iθ})|^{2} |h^{∗}(e^{iθ})|^{2} dθ

から、 Beurling の定理を用いて

h : outer function for N ⟺ f は多項式全体の L^{2}(|h^{∗}(e^{iθ})|^{2}dθ)-閉包に属する

ということがいえる。この閉包を H^{2}(|h|^{2}) で表すことにする。以上より N_{∗} ⊂ ⋃_{h} H^{2}(|h|^{2}) が分かる。

逆に f ∈ H^{2}(|h|^{2}) とすると、 fh = g ∈ H^{2} となり、これより f = g/h (g , h ∈ H^{2} , h : outer function for N) となるので f ∈ N_{∗} が分かる。

以上より N_{∗} = ⋃_{h} H^{2}(|h|^{2}) が示される。

一方 p > = 1 に対し、 W_{p} = {w : weight | log w ∈ L^{p}(T)} とすると、 h ∈ H^{2} が outer function for N のとき |h^{∗}(e^{iθ})|^{2} ∈ W_{1} がいえる。したがって下記の定理が得られる。

この定理は最初 [H1] によって得られたが、その後 [M1, M2] において詳しい説明がなされている。

定理 3-1 (Helson, 1990)

N_{∗} = ⋃_{h∈H^{2} , h: outer} H^{2}(|h|^{2}) = ⋃_{w∈W_{1}} H^{2}(w).

2 ◯ N^{p} の場合

上記の方法と同様にして、 N^{p} の場合は以下の定理が得られる ([E])。

定理 3-2 (Eoff, 1993)

{p > 1 に対し、以下が成り立つ。 \atop N^{p} = ⋃_{h∈H^{2}∩(N^{p})^{−1}} H^{2}(|h|^{2}) = ⋃_{w∈W_{p}} H^{2}(w)}

3 ◯ Helson, McCarthy, Eoff の結果の拡張

以上の結果は重みつき H^{2}-空間を用いて構成されているが、実は同様の結果が重みつき H^{q}-空間 (0 < q < ∞) によって示される。

定理 3-3

p > 1 , 0 < q < ∞ とし、 H^{q}(|h|^{q}) を多項式全体の L^{q}(|h^{∗}(e^{iθ})|^{q}dθ)-閉包とする。このとき以下が成り ; 立つ。 ; (1) N_{∗} = ⋃_{h∈H^{q} , h:outer} H^{q}(|h|^{q}) = ⋃_{w∈W_{1}} H^{q}(w) ; (2) N^{p} = ⋃_{h∈H^{q}∩(N^{p})^{−1}} H^{q}(|h|^{q}) = ⋃_{w∈W_{p}} H^{q}(w)

4. N_{∗} , N^{p} 上の同値な位相について

N_{∗} における距離は

ρ(f, g) = lim_{r→1^{−}} \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} log(1 + |f(re^{iθ}) − g(re^{iθ})|)dθ (f , g ∈ N_{∗})

で表される。一方、 N^{p} (p > 1) における距離は

ρ_{p}(f, g) = lim_{r→1^{−}} \{\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}[log(1 + |f(re^{iθ}) − g(re^{iθ})|)]^{p}dθ\}^{\frac{1}{p}} (f , g ∈ N^{p})

で表される。これらの距離に関する距離位相をそれぞれ τ , τ_{p} で表そう。ところで定理 3-3 から、以下のような N_{∗} (N^{p}) 上の別の位相 (inductive limit topology) を考えること

が出来る（記号で I_{q} (I_{p,q}) と表す）：

「V_{λ} を、任意の w ∈ W_{1} (W_{p}) に対し、 V_{λ} ∩ H^{q}(w) が H^{q}(w) における 0-近傍であるような集合とする。このとき、 (V_{λ})_{λ∈Λ} を I_{q} (I_{p,q}) の 0-近傍系とする。」

このとき、 τ (τ_{p}) とこの I_{q} (I_{p,q}) が同値であることが分かる。定理 4-1

p > 1 , 0 < q < ∞ に対し、 τ (τ_{p}) と I_{q} (I_{p,q}) は N_{∗} (N^{p}) 上、同値な位相である。

証明は [E] の方法と同様にして出来る。

参考文献

[CK] J. S. Choa and H. O. Kim, Composition operators between Nevanlinna-type spaces, preprint.

[E] C. M. Eoff, A representation of N_{α}^{+} as a union of weighted Hardy spaces, Complex Variables 23 (1993), 189-199.

[H1] H. Helson, Large analytic functions, Operator Theory: Advanced and Applications, Birkhäuser, 43 (1990), 209-216.

[H2] H. Helson, Large analytic functions, II, in “Analysis and partial differential equations”, (Cora Sadosky, ed.), Marcel Dekker, Basel, 1990, 217-220.

[I] Y. Iida, Some representations of Nevanlinna-type spaces by weighted Hardy spaces, in preparation.

[M1] J. E. McCarthy, Common ranges of co-analytic Toeplitz operators, J. Amer. Math. Soc. 3, 4 (1990), 793-799.

[M2] J. E. McCarthy, Topologies on the Smirnov class, J. Funct. Anal. 104 (1992), 229-241.

[S] M. Stoll, Mean growth and Taylor coefficients of some topological algebras of analytic functions, Ann. Polon. Math. 35 (1977), 139-158.

Yasuo IIDA Graduate School of Information Sciences, Tohoku University, Katahira, Aoba-ku, Sendai 980-8577, Japan e-mail : iida@ims.is.tohoku.ac.jp