Isometries of some F -algebras of holomorphic functions

飯田 安保 (Yasuo IIDA) 東北大学大学院情報科学研究科

1. 序

単位円板 U 上で定義された正則関数からなる空間として、 Nevanlinna class, Smirnov class, Hardy spaces 等がよく知られているが、 1977 年に M. Stoll が Smirnov class と Hardy spaces の中間に位置する空間 N^{p} を導入した。本講演では、望月望氏（東北大学情報科学）との研究によって得られた N^{p} における線形等長写像の結果について報告する。

2. 準備

まず、代表的な空間である Nevanlinna class, Smirnov class, Hardy spaces の定義を与える：

定義１

U = {z ∈ C | |z| < 1} , T = {z ∈ C | |z| = 1} とする。また、 dσ を T 上の normalized Lebesgue measure とする。さらに f を U 上の正則関数とする。

1. lim_{r→1^{−}} ∫_{T} log(1 + |f(rζ)|) dσ(ζ) < +∞ を満たすとき、 f ∈ N とする。

f ∈ N のとき、 f^{∗}(ζ) := lim_{r→1^{−}} f(rζ) が a.e. ζ ∈ T で存在することが知られている。

2. f ∈ N で、 lim_{r→1^{−}} ∫_{T} log(1 + |f(rζ)|) dσ(ζ) = ∫_{T} log(1 + |f^{∗}(ζ)|) dσ(ζ) を満たすとき、 f ∈ N_{∗} とする。

3. 0 < p < ∞ に対し lim_{r→1^{−}} ∫_{T} |f(rζ)|^{p} dσ(ζ) < +∞ を満たすとき、 f ∈ H^{p} とする。

また、 U 上の有界正則関数全体を H^{∞} で表す。

N を Nevanlinna class, N_{∗} を Smirnov class, H^{p} (0 < p < = ∞) を Hardy spaces と呼ぶ。

これらの空間のあいだに、以下のような包含関係が成り立つ：

H^{∞} ⊂ H^{q} ⊂ H^{p} ⊂ N_{∗} ⊂ N (0 < p < q < ∞)

以上のような包含関係は昔からよく知られていたが、 1977 年に M. Stoll は N_{∗} と H^{p} の間に位置する空間 N^{p} を導入した（[Sto]）：

定義２

p > 1 とする。 U 上の正則関数 f が ; lim_{r→1^{−}} ∫_{T} [log(1 + |f(rζ)|)]^{p} dσ(ζ) < +∞ ; を満たすとき、 f ∈ N^{p} とする。

この N^{p} には、以下の特徴がある：

N^{p} ⊂ N^{q} (1 < q < p) , ⋃_{q>0} H^{q} ⊂ ⋂_{p>1} N^{p} , ⋃_{p>1} N^{p} ⊂ N_{∗}

また、この N^{p} は距離

(1) d_{p}(f , g) = \{∫_{T} [log(1 + |f^{∗}(ζ) − g^{∗}(ζ)|)]^{p} dσ(ζ)\}^{\frac{1}{p}} (f , g ∈ N^{p})

に関して F -algebra （積について連続である、線形完備距離空間）であることが Stoll によって示されている（[Sto]）。

3. H^{p} , N_{∗} , N^{p} 上の線形等長写像について

f ∈ H^{p} (0 < p < ∞) に対して、

∥f∥_{p} = \{∫_{T} |f^{∗}(ζ)|^{p} dσ(ζ)\}^{\frac{1}{p}}

とおくと、これは p > = 1 のとき H^{p} におけるノルムとなる。一方、 0 < p < 1 のとき ∥f∥_{p} は三角不等式を満たさないのでノルムとはならないが、

ρ(f , g) = ∥f − g∥_{p}^{p} = ∫_{T} |f^{∗}(ζ) − g^{∗}(ζ)|^{p} dσ(ζ)

とおくと、 ρ は H^{p} における距離を定義する。そこで、 H^{p} から H^{p} への線形写像 A が任意の f ∈ H^{p} について ∫_{T} |(Af)^{∗}(ζ)|^{p} dσ(ζ) = ∫_{T} |f^{∗}(ζ)|^{p} dσ(ζ)

を満たすとき、 A を H^{p}-等長写像と呼ぶことにする。

この H^{p}-等長写像については、 de Leeuw-Rudin-Wermer （[DRW]） , Forelli （[F]） , Rudin （[R]）らに研究されているが、ここでは後で利用する Rudin の結果を記しておく：

定理１ ([R])

0 < p < ∞ , p ≠ 2 とし、 S : H^{p} → H^{p} が H^{p}-等長写像であるとする。このとき Ψ ∈ H^{p} と U 上の inner function Φ が存在して、

(2) (Sf)(z) = Ψ(z)f(Φ(z)) , z ∈ U , f ∈ H^{p}

が成り立つ。ここに、 T 上の任意の有界な Borel function h(ζ) に対し、

∫_{T} h(ζ) dσ(ζ) = ∫_{T} h(Φ^{∗}(ζ))|Ψ^{∗}(ζ)|^{p} dσ(ζ)

が成り立つ。次に、 N_{∗} について以下のような距離を定義しよう：

d(f , g) = ∫_{T} log(1 + |f^{∗}(ζ) − g^{∗}(ζ)|) dσ(ζ) (f , g ∈ N_{∗})

この距離 d に関する N_{∗} 上の線形等長写像については、 Stephenson によって次の結果が得られている：

定理２（[Ste]） T : N_{∗} → N_{∗} が線形等長写像であるとする。このとき U 上の inner function Ψ , Φ （ただし、 Φ^{∗} は

measure-preserving）が存在して、

(T f)(z) = Ψ(z)f(Φ(z)) , z ∈ U , f ∈ N_{∗}

となる。

同様のことを N^{p} でも考えてみる。距離 (1) に関する N^{p} での線形等長写像について、以下のような結果を得た。これは N_{∗} の場合とまったく同じ形である（[IM]）：

定理３

p > 1 とし、 A : N^{p} → N^{p} が線形等長写像であるとする。このとき U 上の inner function Ψ , Φ （ただし、 Φ^{∗} は measure-preserving）が存在して、

(3) (Af)(z) = Ψ(z)f(Φ(z)) , z ∈ U , f ∈ N^{p} となる。逆に、上記のような Ψ と Φ が与えられたとき、 (3) は N^{p} から N^{p} への線形等長写像となる。

系

p > 1 とする。 A : N^{p} → N^{p} が上への線形等長写像であるとする。このとき a , b ∈ T が存在して、 ; (Af)(z) = af(bz) , z ∈ U , f ∈ N^{p} ; となる。

4. 定理３の証明

この定理の証明にあたり、以下の補題を用いる：

補題１

p > 0 とする。このとき以下の式が成り立つ。 ; (log(1 + x))^{p} = x^{p} − \frac{p}{2}x^{p+1} + x^{p+2}θ(x) (0 < = x < +∞) ; ここで、 θ(x) は有界連続関数である。

補題２

{p > 1 とする。 A : N^{p} → N^{p} が線形等長写像であるとき、 A|_{H^{p}} は H^{p} から H^{p} への H^{p}-等長写像に \atop なる。} （定理３の証明の概略）

(I) p ≠ 2 の場合

補題２から Rudin の結果を用いて

(Af)(z) = Ψ(z)f(Φ(z)) (z ∈ U , f ∈ H^{p})

のように表せる。ここで、 Ψ = A1 ∈ H^{p} で、 Φ は任意の有界な Borel function h に対して

∫_{T} h(ζ)dσ(ζ) = ∫_{T} (h ∘ Φ^{∗})(ζ)|Ψ^{∗}(ζ)|^{p}dσ(ζ)

を満たす。このとき f ∈ H^{∞} を考え、 H^{∞} が N^{p} で dense であること、 N^{p} の距離による位相は、 U 上広義一様

収束する位相よりも強いことを用いて、 (2) が f ∈ N^{p} でも成り立つことが分かる。

また、 |Ψ^{∗}(ζ)| = 1 (a.e. ζ ∈ T) であることを示すために、まず補題１の x のかわりに |tΨ^{∗}(ζ)| と t (t > 0 , ζ ∈ T) をおく。ここで d_{p}(tΨ, 0) = d_{p}(t, 0) , ∥tΨ∥_{p} = t であることを利用して

∫_{T} (\frac{p}{2}|Ψ^{∗}(ζ)|^{p+1} − t|Ψ^{∗}(ζ)|^{p+2}θ (|tΨ^{∗}(ζ)|)) dσ(ζ) = \frac{p}{2} − tθ(t) (t > 0)

を得る。ここで\frac{1}{2}px^{p+1}−x^{p+2}θ(x) > = 0 (0 < = x < +∞) なので、 Fatou’s lemma より ∫_{T} |Ψ^{∗}(ζ)|^{p+1}dσ(ζ) < = 1 が得られる。

よって、 ∥Ψ∥_{p} = 1 について Hölder の不等式を適用して ∫_{T} |Ψ^{∗}(ζ)|^{p}dσ(ζ) = ∫_{T} |Ψ^{∗}(ζ)|^{p+1}dσ(ζ) が導かれ、 |Ψ^{∗}(ζ)| = 1 (a.e. ζ ∈ T) が分かる。

(II) p = 2 の場合

A : N^{2} → N^{2} が線形等長写像であるとする。補題１で p = 2 とすると、 x^{3} − x^{4}θ(x) > = 0 , θ(x) > 0 (0 < = x < +∞) を得る。ここで f ∈ H^{∞} とする。このとき補題２より g := Af ∈ H^{2} である。補題１で p = 2 とし、 x に |tf^{∗}(ζ)| , |tg^{∗}(ζ)| (t > 0 , ζ ∈ T) をおく。このとき、 t > 0 に対し

∫_{T} (|g^{∗}(ζ)|^{3} − t|g^{∗}(ζ)|^{4}θ (|tg^{∗}(ζ)|))dσ(ζ) = ∫_{T} |f^{∗}(ζ)|^{3}dσ(ζ) − t ∫_{T} |f^{∗}(ζ)|^{4}θ (|tf^{∗}(ζ)|) dσ(ζ)

が得られる。 Fatou’s lemma より

∫_{T} |g^{∗}(ζ)|^{3}dσ(ζ) < = ∫_{T} |f^{∗}(ζ)|^{3}dσ(ζ)

が導かれ、逆の不等式も容易に得られる。よって、 A は H^{∞} から H^{3} への H^{3}-等長写像となる。 H^{∞} は H^{3} で dense であること、 H^{3} の位相は

N^{2} の位相より強い、ということを利用すると、 A は H^{3} から H^{3} への H^{3}- 等長写像となる。よって A は

(Af)(z) = Ψ(z)f(Φ(z)) (z ∈ U , f ∈ H^{3}).

の形で表される。 Ψ = A1 より、 ∥Ψ∥_{2} = ∥Ψ∥_{3} が得られるのでこれより |Ψ^{∗}(ζ)| = 1 (a.e. ζ ∈ T) が分かる。

また、逆に U 上の inner function Ψ , Φ （ただし、 Φ^{∗} は measure-preserving）に対して (3) を考えるとき、 f ∈ H^{∞} に対して d_{p}(Af , 0) = d_{p}(f , 0) が成り立つので、 H^{∞} が N^{p} で dense であることを利用すれば、 A が N^{p} から N^{p} への等長写像であることが分かる。

参考文献

[DRW] K. de Leeuw , W. Rudin , and J. Wermer , The isometries of some function spaces , Proc. Amer. Math. Soc. , 11 (1960) , 694-698

[F] F. Forelli , The isometries of H^{p} , Can. J. Math. , 16 (1964) , 721-728

[IM] Y. Iida and N. Mochizuki , Isometries of some F-algebras of holomorphic functions , to appear in Arch. Math.

[R] W. Rudin , L^{p}-isometries and equimeasurability , Indiana Univ. Math. J. , 25 (1976) , 215-228

[Ste] K. Stephenson , Isometries of the Nevanlinna class , Indiana Univ. Math. J. , 26 (1977) , 307-324

[Sto] M. Stoll , Mean growth and Taylor coefficients of some topological algebras of analytic functions , Ann. Polon. Math. , 35 (1977) , 139-158